Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．給出下列四個(gè)命題：
①f（3）=0；
②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[0，2014]上有335個(gè)零點(diǎn)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①在f（x+6）=f （x）+f （3）中，令x=-3，可得f（-3）=0，f（x）是R上的偶函數(shù)，從而可判斷①；
②由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，再利用f（x）是R上的偶函數(shù)，可得f（-6-x）=f（-6+x），從而可判斷②；
③依題意知，函數(shù)y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，利用f（x）的周期為6，且f（x）是R上的偶函數(shù)，可判斷函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)，從而可判斷③；
④由題意可知，y=f（x）在[0，6]上只有一個(gè)零點(diǎn)3，而2014=335×6+3，從而可判斷④．

解答： 解：①：對(duì)于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，則f（-3+6）=f（-3）+f （3），即f（-3）=0，
又因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（3）=0，即①正確；
②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，
又因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期為6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸，即②正確；
③：當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
所以函數(shù)y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，
因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）在[-3，0]上為減函數(shù)
而f（x）的周期為6，所以函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
④：f（3）=0，f（x）的周期為6，函數(shù)y=f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，6]上為減函數(shù)，
所以：y=f（x）在[0，6]上只有一個(gè)零點(diǎn)3，而2014=335×6+3，
所以，函數(shù)y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．
故正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性及零點(diǎn)的確定的綜合應(yīng)用，屬于難題．