Question

對于給定數列{c_n}，如果存在實常數p，q使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數列{c_n}是“線性數列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，數列{a_n}、{b_n}是否為“線性數列”？若是，指出它對應的實常數p&，q，若不是，請說明理由；
（2）證明：若數列{a_n}是“線性數列”，則數列{a_n+a_n+1}也是“線性數列”；
（3）若數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t為常數．求數列{a_n}前n項的和．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）a_n=2n，則a_n+1=a_n+2，n∈N^*，可得數列{a_n}是“線性數列”，對應的實常數分別為1，2．同理數列{b_n}是“線性數列”．
（2）利用“線性數列”的定義即可證明；
（3）對n分奇數與偶數討論，利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）解：∵a_n=2n，則a_n+1=a_n+2，n∈N^*，
∴數列{a_n}是“線性數列”，對應的實常數分別為1，2．
∵bn=3•2n，則有b_n+1=2b_n，n∈N^*，
∴數列{b_n}是“線性數列”，對應的實常數分別為2，0．
（2）證明：若數列{a_n}是“線性數列”，則存在實常數p，q，
使得a_n+1=pa_n+q對于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q對于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q對于任意n∈N^*都成立，
故數列{a_n+a_n+1}也是“線性數列”．
對應的實常數分別為p，2q． 
（3）解：∵an+an+1 =3t•2n (n∈N*)，
當n為偶數時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=3t•2+3t•2²+…3t•2^n-1
=3t(2+22+…+2n-1)=3t•

2(1-4 n 2 )

1-4

=t•2n+1-2t．
當n為奇數時，S_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n）
=2+3t•2²+3t•2⁴+…+3t•2^n-1=2+3t•（2²+2⁴+…+2^n-1）
=2+3t•

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=t•2n+1-4t+2．
故數列{a_n}前n項的和Sn=

t•2n+1-2t，n為偶數 t•2n+1-4t+2，n為奇數

…．

點評：本題考查了線性數列”的定義、等比數列的前n項和公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．