已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的離心率e＞1+
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上找一點(diǎn)P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)？
分析：設(shè)左支上存在P點(diǎn)，由雙曲線的第二定義知|PF2|=e|PF1|，再由雙曲線的第一定義，得|PF2|-|PF1|=2a由此推導(dǎo)出e2-2e-1≤0，解得1＜e≤1+
2
與已知e＞1+
2
矛盾．從而斷定在雙曲線左支上找不到點(diǎn)P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)．
解答：解：設(shè)在左支上存在P點(diǎn)，使|PF1|2=|PF2|•d，由雙曲線的第二定義知
|PF1|
d
=
|PF2|
|PF1|
=e，即|PF2|=e|PF1|①
再由雙曲線的第一定義，得|PF2|-|PF1|=2a．②
由①②，解得|PF1|=
2a
e-1
，|PF2|=
2ae
e-1
，
∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，
∴
2a
e-1
+
2ae
e-1
≥2c．③
利用e=
c
a
，由③得e2-2e-1≤0，
解得1-
2
≤e≤1+
2
．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+
2
與已知e＞1+
2
矛盾．
∴在雙曲線左支上找不到點(diǎn)P，使得|PF1|是P到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題是雙曲線的綜合題，綜合利用雙曲線的第一定義和第二定義求解，在解題時(shí)要注意反證法的運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過(guò)其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問(wèn)：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過(guò)定點(diǎn)
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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