Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率e＞1+

2

，左、右焦點分別為F₁、F₂，左準線為l，能否在雙曲線的左支上找一點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項？

Answer 1

分析：設(shè)左支上存在P點，由雙曲線的第二定義知|PF₂|=e|PF₁|，再由雙曲線的第一定義，得|PF₂|-|PF₁|=2a由此推導(dǎo)出e²-2e-1≤0，解得1＜e≤1+

2

與已知e＞1+

2

矛盾．從而斷定在雙曲線左支上找不到點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項．

解答：解：設(shè)在左支上存在P點，使|PF₁|²=|PF₂|•d，由雙曲線的第二定義知

|PF1|

d

=

|PF2|

|PF1|

=e，即|PF₂|=e|PF₁|①
再由雙曲線的第一定義，得|PF₂|-|PF₁|=2a．②
由①②，解得|PF₁|=

2a

e-1

，|PF₂|=

2ae

e-1

，
∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，
∴

2a

e-1

+

2ae

e-1

≥2c．③
利用e=

c

a

，由③得e²-2e-1≤0，
解得1-

2

≤e≤1+

2

．
∵e＞1，
∴1＜e≤1+

2

與已知e＞1+

2

矛盾．
∴在雙曲線左支上找不到點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項．

點評：本題是雙曲線的綜合題，綜合利用雙曲線的第一定義和第二定義求解，在解題時要注意反證法的運用．