Question

9．函數f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）=0存在唯一正實數根x₀，則a取值范圍是（-∞，-2）．

Answer 1

分析 分類討論：當a≥0時，容易判斷出不符合題意；當a＜0時，求出函數的導數，利用導數和極值之間的關系轉化為求極小值f（$\frac{2}{a}$）＞0，解出即可得到a的范圍．

解答 解：當a=0時，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
函數f（x）有兩個零點，不符合題意，應舍去；
當a＞0時，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0，
解得x=0或x=$\frac{2}{a}$＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，
∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，應舍去．
當a＜0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0，
解得x=0或x=$\frac{2}{a}$＜0，列表如下：

x	（-∞，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（ $\frac{2}{a}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→-∞，∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，∴極小值f（$\frac{2}{a}$）=a $\frac{2}{a}$）³-3（$\frac{2}{a}$）²+1＞0，
化為a²＞4，∵a＜0，∴a＜-2．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）．
故答案為：（-∞，-2）．

點評 本題考查了函數的導數在判斷函數的單調性的運用，函數的零點的判斷及應用，屬于難題．