Question

（2013•嘉興一模）已知函數(shù)f（x）=mx³-x+

1

3

，以點(diǎn)N（2，n）為切點(diǎn)的該圖象的切線的斜率為3
（I）求m，n的值
（II）已知g(x)=-

a+1

2

x2+(a+1)x(a＞0)，若F（x）=f（x）+g（x）在[0，2]上有最大值1，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由N點(diǎn)處切線斜率為3可得f′（2）=3，由此可得m值，則n=f（2），算出即可；
（II）求出F′（x），按照0＜a＜1，a=1，1＜a＜2，a≥2進(jìn)行討論：研究函數(shù)F（x）在[0，2]上的單調(diào)性、極值，根據(jù)其最大值為1可得不等式，解出即可；

解答：解：（I）f′（x）=3mx²-1，
由題意得f′（2）=12m-1=3，解得m=

1

3

，
所以f（x）=

1

3

x³-x+

1

3

，
所以n=f（2）=1；
（II）因?yàn)镕（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax+

1

3

，
所以F′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），令F′（x）=0得x=1或x=a，
當(dāng)0＜a＜1時，令F′（x）＞0得0＜x＜a，或1＜x＜2，令F′（x）＜0得a＜x＜1，
因?yàn)镕（x）在[0，2]上有最大值 1，F(xiàn)（2）=1，所以F（a）≤1，即a³-3a²+4≥0，
令g（a）=a³-3a²+4，則g′（a）=3a²-6a=3a（a-2），所以g′（a）＜0，
所以g（a）＞g（1）=0，所以0＜a＜1；
當(dāng)a=1時，F(xiàn)′（x）=x²-2x+1=（x-1）²≥0，F(xiàn)（x）≤F（2）=1成立；
當(dāng)1＜a＜2時，令F′（x）＞0得0＜x＜1或a＜x＜2，令F′（x）＜0得1＜x＜a，F(xiàn)（2）=1，
因?yàn)镕（x）在[0，2]上有最大值 1，所以F（1）≤1，即

1

3

-

a+1

2

+a+

1

3

≤1，解得a≤

5

3

，所以1＜a≤

5

3

；
當(dāng)a≥2時，由F（x）的單調(diào)性知F（x）_max=F（1）＞F（2），故不成立；
綜上，實(shí)數(shù)a的范圍是0＜a≤

5

3

．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大．