Question

4．關(guān)于x的方程sinx+cosx=k在區(qū)間[0，π]內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，$\sqrt{2}$），且sin（x₁+x₂）=1．

Answer 1

分析 利用兩角和與差公式可得k=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化成y₁=k，y₂=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，π]有兩個(gè)交點(diǎn)問題，將圖象畫出即可得出k的范圍，由圖象的對(duì)稱性可得x₁+x₂，進(jìn)而得到所求正弦值．

解答 解：∵sinx+cosx=k，
∴k=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
設(shè)y₁=k，y₂=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
由題意可知y₁=k，y₂=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
x∈[0，π]有兩個(gè)交點(diǎn)，
如圖示知k∈[1，$\sqrt{2}$），
設(shè)兩相異實(shí)根為x₁，x₂，由圖示⇒x₁+x₂=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
sin（x₁+x₂）=1．
故答案為：[1，$\sqrt{2}$），1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角方程的解的個(gè)數(shù)問題，注意運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象，著重考查輔助角公式的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．