19．若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（0，$\frac{3}{2}$）B．（0，$\frac{3}{2}$]C．[$\frac{3}{2}$，+∞）D．（0，+∞）

分析 設t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函數(shù)的性質求出t的范圍，將t代入f（x）后求出函數(shù)的導數(shù)，求出臨界點，根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調性，由導數(shù)與函數(shù)單調性的關系列出不等式，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，
∵f（x）=sin3x+acos2x=sin3x+a（1-sin2x），
∴f（x）變?yōu)椋簓=t3-at2+a，
則y′=3t2-2at=t（3t-2a），
由y′=0得，t=0或t=$\frac{2a}{3}$，
∵f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，
∴函數(shù)y=t3-at2+a在（0，1]上遞減或先減后增，
即$\frac{2a}{3}$＞0，得a＞0，
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞），
故選：D．

點評 本題考查正弦函數(shù)的性質，導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，以及構造法、換元法的應用，考查化簡、變形能力．

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．直線xcosα+$\sqrt{3}$y+2=0的傾斜角的取值范圍（　�。�
A．[0，$\frac{5π}{6}$]B．[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]C．[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]D．[0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{5π}{6}$，π）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

10．“若f（x）在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內的任意x1，x2，…，xn，有$\frac{1}{n}[{f（{x_1}）+f（{x_2}）++f（x_n^{\;}）}]≤f（\frac{{{x_1}+{x_2}++{x_n}}}{n}）$”設f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（　　）
A．$\frac{3}{2}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-1$的漸近線方程為（　�。�
A．$y=±\frac{3}{4}x$B．$y=±\frac{4}{3}x$C．$y=±\frac{16}{9}x$D．$y=±\frac{9}{16}x$

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14．設k∈R，函數(shù)f（x）=lnx-kx．
（1）若k=2，求曲線y=f（x）在P（1，-2）處的切線方程；
（2）若f（x）無零點，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$，點F1，F(xiàn)2分別為其左右焦點，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點M是直線l與橢圓C的一個公共點，設$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$．
（1）證明：λ=1-e2；
（2）若λ=$\frac{3}{4}$，△MF1F2的周長為6，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

11．已知MOD函數(shù)是一個求余函數(shù)，其格式為MOD（n，m），其結果為n除以m的余數(shù)，例如MOD（8，3）=2．右面是一個算法的程序框圖，當輸入n的值為12時，則輸出的結果為（　�。�
A．2B．3C．4D．5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

8．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=2，對任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，則f（n）=$\frac{{S}_{n}+60}{n+1}$（n∈N*）的最小值為$\frac{29}{2}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．不等式組$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤1\\ 0≤y≤2\end{array}\right.$表示的點集M，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{y≥2{x}^{2}}\end{array}\right.$表示的點集記為N，在M中任取一點P，則P∈N的概率為（　�。�
A．$\frac{5}{32}$B．$\frac{9}{32}$C．$\frac{9}{16}$D．$\frac{5}{16}$

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