Question

12．二十世紀(jì)50年代，日本熊本縣水俁市的許多居民都患了運(yùn)動(dòng)失調(diào)、四肢麻木等癥狀，人們把它稱為水俁�。�經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)一家工廠排出的廢水中含有甲基汞，使魚類受到污染．人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類引起汞中毒． 引起世人對食品安全的關(guān)注．《中華人民共和國環(huán)境保護(hù)法》規(guī)定食品的汞含量不得超過1.00ppm．羅非魚是體型較大，生命周期長的食肉魚，其體內(nèi)汞含量比其他魚偏高．現(xiàn)從一批羅非魚中隨機(jī)地抽出15條作樣本，經(jīng)檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字為葉）如下：
（Ⅰ）若某人員從這15條魚中，隨機(jī)地抽出3條，求恰有1條魚汞含量超標(biāo)的概率；
（Ⅱ）以此15條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批魚的總體數(shù)據(jù)．若從這批數(shù)量很大的魚中任選3條魚，記ξ表示抽到的魚汞含量超標(biāo)的條數(shù)，求ξ的分布列及Eξ
（Ⅲ）在這15條樣本魚中，任取3條，記η表示抽到的魚汞含量超標(biāo)的條數(shù)，求η的分布列及Eη．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從15條魚中選3條，共有C₁₅³種結(jié)果，而滿足條件的事件是恰好有1條魚汞含量超標(biāo)有C₅¹C₁₀²種結(jié)果，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（Ⅱ）依題意可知，這是在相同條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，各次之間相互獨(dú)立，所以這是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這批羅非魚中汞含量超標(biāo)的魚的概率P可以求出，ξ的取值為0，1，2，3，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式，得到結(jié)果．
（Ⅲ）這15條樣本魚中，有5條超標(biāo)，任取3條，記η表示抽到的魚汞含量超標(biāo)的條數(shù)，則η的取值為0，1，2，3，屬于超幾何分布．

解答 解：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從15條魚中選3條，共有C₁₅³種結(jié)果，
而滿足條件的事件是恰好有1條魚汞含量超標(biāo)有C₅¹C₁₀²種結(jié)果，
記“15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標(biāo)”為事件A
∴P（A）=$\frac{{{C}_{5}^{1}C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{45}{91}$，
∴15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標(biāo)的概率為$\frac{45}{91}$．
（Ⅱ）依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標(biāo)的魚的概率P=$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$
這是在相同條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，各次之間相互獨(dú)立，所以這是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
所有ξ的取值為0，1，2，3，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式，
其分布列如下

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

所以ξ～
所以ξ～（3，$\frac{1}{3}$），所以Eξ=1
（Ⅲ）這15條樣本魚中，有5條超標(biāo)，任取3條，記η表示抽到的魚汞含量超標(biāo)的條數(shù)，則η的取值為0，1，2，3，屬于超幾何分布．
P（η=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{120}{455}$，P（η=1）=$\frac{{{C}_{5}^{1}C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{225}{455}$，P（η=2）=$\frac{{{C}_{5}^{2}C}_{10}^{1}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{100}{455}$                    P（η=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{15}^{3}}=\frac{10}{455}$
η的分布列如下：

η	0	1	2	3
P	$\frac{120}{455}$	$\frac{225}{455}$	$\frac{100}{455}$	$\frac{10}{455}$

所以Eη=$0×\frac{120}{455}+1×\frac{225}{455}+2×\frac{100}{455}+3×\frac{10}{455}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，同時(shí)也考查了二項(xiàng)分布及超幾何分布的區(qū)分，屬于基礎(chǔ)題．