Question

已知函數(shù)f（x）=-1+2

3

sinxcosx+2cos²x．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（3）若角α，β的終邊不共線，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為2sin（2x+

π

6

），由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），求得x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由sin（2x+

π

6

）=0，求得2x+

π

6

=kπ（k∈Z），解得x的值，可得 f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．
（3）由題意可得2sin（2α+

π

6

）=2sin（2β+

π

6

），故2α+

π

6

+2β+

π

6

=2kπ+π，k∈z，由此求得 α+β 的值，可得 tan（α+β ）的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
求得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）由sin（2x+

π

6

）=0，求得2x+

π

6

=kπ（k∈Z），即x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴f（x）圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（-

π

12

，0）．
（3）若角α，β的終邊不共線，且f（α）=f（β），
∴2sin（2α+

π

6

）=2sin（2β+

π

6

），
∴2α+

π

6

+2β+

π

6

=2kπ+π，k∈z，∴α+β=kπ+

π

3

，故 tan（α+β ）=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，屬于中檔題．