Question

13．已知函數(shù)y=f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于（-2，0）對(duì)稱，若動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足等式f（x²+2x+4）+f（2y²+8y+3）=0，則x+y的最大值（　�。�

• A． $\sqrt{3}$+3
• B． -3
• C． $\sqrt{3}$-3
• D． 3

Answer 1

分析 將y=f（x+2）右移2個(gè)單位可得y=f（x）的圖象，即有f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由題意可得f（x²+2x+4）=-f（2y²+8y+3）=f（-2y²-8y-3），由f（x）在R上單調(diào)，可得x²+2x+4=-2y²-8y-3，配方再由三角換元，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于（-2，0）對(duì)稱，
將y=f（x+2）右移2個(gè)單位可得y=f（x）的圖象，
即有f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由f（x²+2x+4）+f（2y²+8y+3）=0，可得
f（x²+2x+4）=-f（2y²+8y+3）=f（-2y²-8y-3），
由f（x）在R上單調(diào)，可得x²+2x+4=-2y²-8y-3，
即為x²+2x+4+2y²+8y+3=0，
即有（x+1）²+2（y+2）²=2，
令x=-1+$\sqrt{2}$cosα，y=-2+sinα（0≤α＜2π），
則x+y=-3+sinα+$\sqrt{2}$cosα=-3+$\sqrt{3}$sin（α+θ），（其中tanθ=$\sqrt{2}$，0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
當(dāng)α+θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，sin（α+θ）取得最大值1，x+y取得最大值-3+$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性的運(yùn)用，考查換元法思想的運(yùn)用，以及正弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，屬于中檔題．