Question

【題目】給出定義在上的兩個(gè)函數(shù),.

（1）若在處取最值．求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）兩個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1） 開區(qū)間的最值在極值點(diǎn)取得，因此在處取極值，即 ，解得 ，需驗(yàn)證（2） 在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，再利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值：的最大值，根據(jù)分式函數(shù)求最值方法求得最大值2（3）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增；再考慮區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)：，

， ，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)

試題解析：（1） 由已知，即: ,

解得： 經(jīng)檢驗(yàn) 滿足題意

所以

（2）

要使得在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則，即在區(qū)間上恒成立

因?yàn)?/span>，所以

設(shè)函數(shù)，則

因?yàn)?/span>，所以，所以

所以，所以

（3）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)?/span>

所以

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以，

，

故由零點(diǎn)存在理可知：

函數(shù)在 存在一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在 存在一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．