Question

9．定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足：f（3x）=3f（x），且1≤x≤3時(shí)f（x）=1-|x-2|，若f（x）=f（2017），
則最小的實(shí)數(shù)x為413．

Answer 1

分析 求出f（2017）=170，由${3}^{n}（1-|\frac{x}{{3}^{n}}-2|）$=170，可得1-$\frac{170}{{3}^{n}}$＞0，n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）滿足：f（3x）=3f（x），
∴$f（x）={3}^{n}f（\frac{x}{{3}^{n}}）$，
∴f（2017）=${3}^{6}f（\frac{2017}{{3}^{6}}）$，
∵1＜$\frac{2017}{{3}^{6}}$＜3，
∴f（$\frac{2017}{{3}^{6}}$）=1-|$\frac{2017}{{3}^{6}}$-2|=$\frac{170}{{3}^{6}}$，
∴f（2017）=170，
由${3}^{n}（1-|\frac{x}{{3}^{n}}-2|）$=170，可得1-$\frac{170}{{3}^{n}}$＞0，n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$
∴x=413，
故答案為413．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)，考查函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，求出n最小取5，可得|$\frac{x}{{3}^{5}}$-2|=1-$\frac{170}{{3}^{5}}$是關(guān)鍵，難度大．