Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈Z）．
（1）求f′（x）；
（2）若曲線y=f（x）在點（2，1）處的切線與x軸平行，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計算即可得到；（2）求得切線的斜率，由切線與x軸平行，可得a，b的方程，再由切點（2，1）可得a，b的方程，解方程組，可得a，b，再由a，b為整數(shù)，可得f（x）的解析式．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{x+b}$的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=a-$\frac{1}{（x+b）^{2}}$；
（2）曲線y=f（x）在點（2，1）處的切線斜率為k=a-$\frac{1}{（2+b）^{2}}$，
切線與x軸平行，可得a-$\frac{1}{（2+b）^{2}}$=0，
由f（2）=1，可得2a+$\frac{1}{2+b}$=1，
解方程可得a=1，b=-3或a=$\frac{1}{4}$，b=-3，
由a，b∈Z，可得a=1，b=-3．
則f（x）=x+$\frac{1}{x-3}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．