已知f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)≤2.
【答案】分析:先根據(jù)f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,通過(guò)取特殊值求出f(9)=2,將f(x)+f(x-8)≤2,化成f[x(x-8)]≤f(9).依據(jù)函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)性化掉符號(hào):“f”,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的整式不等式,即可求得x的取值范圍.
解答:解:根據(jù)題意,由f(3)=1,
得f(9)=f(3)+f(3)=2.
又f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)],
故f[x(x-8)]≤f(9).
∵f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),
解得8<x≤9.
∴原不等式的解集為{x|8<x≤9}.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、抽象函數(shù)及其應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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已知f(x)在定義域上是奇函數(shù),且在[a,b](0<a<b)上是減函數(shù),圖象如圖所示.
(1)化簡(jiǎn):f(數(shù)學(xué)公式)+f(數(shù)學(xué)公式)+f(數(shù)學(xué)公式)+f(數(shù)學(xué)公式);
(2)畫出函數(shù)f(x)在[-b,-a]上的圖象;
(3)證明:f(x)在[-b,-a]上是減函數(shù).

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