Question

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y²=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)F（ ，0 ），當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，可得A（ ，1），B（ ，-1），求得  的值，結(jié)合填空題的特點(diǎn)，得出結(jié)論．
法二：由拋物線y²=2x與過其焦點(diǎn)（，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達(dá)定理可以求得答案．
解答：解：法一：拋物線y²=2x的焦點(diǎn)F（ ，0 ），
當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，可得A（ ，1），B（ ，-1），
∴=（ ，1）•（ ，-1）=-1=-，
法二：由題意知，拋物線y²=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∴直線AB的方程為y=k（x-），
由 得k²x²-（k²+2）x+k²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 ，y₁•y₂=k（x₁-）•k（x₂-）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+]
∴=x₁•x₂+y₁•y₂=，
故答案為：-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，通過給變量取特殊值，檢驗(yàn)所給的選項(xiàng)，是一種簡(jiǎn)單有效的方法．