Question

已知x，y，z∈R₊，x+y+z=3．
（1）求

1

x

+

1

y

+

1

z

的最小值
（2）證明：3≤x²+y²+z²＜9．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用“乘1法”和基本不等式即可得出；
（2）利用3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²；及作差x²+y²+z²-9=x²+y²+z²-（x+y+z）²=-2（xy+yz+xz）即可證明．

解答： （1）解：∵x，y，z∈R₊，x+y+z=3．
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

3

(x+y+z)(

1

x

+

1

y

+

1

z

)
=

1

3

(3+

y

x

+

x

z

+

y

x

+

y

z

+

z

x

+

z

y

)≥

1

3

(3+2

y x • x y

+2

x z • z x

+2

y z • z y

)=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)取等號(hào)，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

的最小值是3．
（2）證明：∵（x-y）²+（x-z）²+（y-z）²≥0，
∴2（x²+y²+z²）≥2xy+2xz+2yz，
∴3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²=3²，
∴x²+y²+z²≥3；
又x²+y²+z²-9=x²+y²+z²-（x+y+z）²=-2（xy+yz+xz）＜0．
綜上可得：3≤x²+y²+z²＜9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)、“作差法”比較兩個(gè)數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了轉(zhuǎn)化為能力和推理能力、計(jì)算能力，屬于難題．