Question

已知A={(x,y)|ax+y=1},B={(x,y)|x+ay=1},C={(x,y)|x²+y²=1}.

(1)問(wèn)a取何值時(shí),(A∪B)∩C是有且只有兩個(gè)元素的集合？

(2)a取何值時(shí),(A∪B)∩C是只含有三個(gè)元素的集合？

Answer 1

分析：本題可將對(duì)方程組的求解轉(zhuǎn)化為對(duì)幾何圖形的討論.

解：集合A是平面上過(guò)P(0，1)，R(1，1-a)的直線；集合B是平面上過(guò)Q(1，0)、S(1-a,1)的直線；集合C是單位圓.

(1)兩直線和單位圓有且只有兩個(gè)交點(diǎn)分兩種情況.

①兩直線分別與單位圓相切，此時(shí)a=0；

②兩直線均過(guò)P、Q兩點(diǎn)，此時(shí)a=1.

∴當(dāng)a=0或a=1時(shí)，(A∪B)∩C={(0,1),(1,0)}.

(2)當(dāng)(A∪B)∩C有三個(gè)元素時(shí)，只有當(dāng)兩直線的交點(diǎn)也在單位圓上.

    由得交點(diǎn)T(,),∴()²+()²=1,

    解得a=±-1.

    這時(shí)(A∪B)∩C={(0，1)，(1，0)，(，)}或(A∪B)∩C={(0，1)，(1，0)，(-，-)}.