Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

an-1

1+2an-1

（n＞1），記b_n=

1

an

．
（1）求證：數列{b_n}為等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差關系的確定,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得b_n=

1

an

=

2an-1+1

an-1

=2+

1

an-1

，由此能證明數列{b_n}為首項為1，公差為2的等差數列．
（2）由（1）得b_n=

1

an

=1+（n-1）×2=2n-1，由此能求出數列{a_n}的通項公式．

解答： （1）證明：∵數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

an-1

1+2an-1

（n＞1），
∴b_n=

1

an

=

2an-1+1

an-1

=2+

1

an-1

，
∴

1

an

-

1

an-1

=2，
又

1

a1

=1，
∴數列{b_n}為首項為1，公差為2的等差數列．
（2）解：由（1）得b_n=

1

an

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．