Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax+bln（x+1）（a，b∈R，且a≠2）．
（1）當(dāng)b=1且函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)時(shí)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，試用a表示b；
（3）在（2）的條件下，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)b=1且函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立，x∈（-1，+∞），采取分離參數(shù)的方法求得a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，得f′（1）=0，求出a，b的方程；（3）在（2）的條件下，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求導(dǎo)，比較方程f′（x）=0兩根的大小，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-ax+bln（x+1），
其定義域?yàn)椋?1，+∞）．∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

．
∵函數(shù)f（x）是增函數(shù)，∴當(dāng)x＞-1時(shí)，∴f′(x)=2x-a+

b

x+1

≥0恒成立．
即當(dāng)x＞-1時(shí)，a≤2x+

1

x+1

恒成立．
∵當(dāng)x＞-1時(shí)，2x+

1

x+1

=2(x+1)+

1

x+1

-2≥2

2

-2，
且當(dāng)x=

2

2

-1時(shí)取等號(hào)．∴a的取值范圍為(-∞，2

2

-2]．
（2）∵f′(x)=2x-a+

b

x+1

，且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0．∴b=2a-4．此時(shí)f′(x)=2x-a+

2a-4

x+1

=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

．
當(dāng)

a-4

2

=1，即a=6時(shí)，f'（x）≥0恒成立，
此時(shí)x=1不是極值點(diǎn)．∴b=2a-4（a≠6，且a≠2）
（3）由f′(x)=

2(x-1)(x- a-4 2 )

x+1

得
①當(dāng)a＜2時(shí)，

a-4

2

≤-1．∴當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．∴當(dāng)a＜2時(shí)，
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
②當(dāng)2＜a＜6時(shí)，-1＜

a-4

2

＜1．
∴當(dāng)-1＜x＜

a-4

2

，或x＞1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)

a-4

2

＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；
∴當(dāng)2＜a＜6時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

a-4

2

，1)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，

a-4

2

)，（1，+∞）．
③當(dāng)a＞6時(shí)，

a-4

2

＞1．∴當(dāng)-1＜x＜1，或x＞

a-4

2

時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜

a-4

2

時(shí)，f'（x）＜0；
∴當(dāng)a＞6時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，

a-4

2

)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．
綜上所述：∴當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），
單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)2＜a＜6時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

a-4

2

，1)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，

a-4

2

)，(1，+∞)；
當(dāng)a＞6時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，

a-4

2

)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，1)，(

a-4

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，在求a的取值范圍時(shí)采取的分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，討論函數(shù)單調(diào)性是，對(duì)于程f′（x）=0兩根的大小的比較，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬難題．