Question

【題目】如圖，多面體PABCD的直觀圖及三視圖如圖所示，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn).

（I）求證：EF∥平面PAD；

（II）求證：平面PDC⊥平面PAD.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由多面體PABCD的三視圖知，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD是等腰三角形，PA=PD=，且平面PAD平面ABCD．先證明EF∥PA，由線面平行的判定定理證明EF∥平面PAD；
（Ⅱ）因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA又可得△PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD，根據(jù)線面垂直的判定定理得PA⊥平面PDC，又PA平面PAD，所以平面PAD⊥平面PDC．

試題解析：

（I）證明：由多面體的三視圖知，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面是等腰三角形，，且平面平面. 連結(jié)，則是的中點(diǎn)，在△中，，且

平面，

平面，

∴∥平面

(2) 因?yàn)槠矫?/span>⊥平面， 平面∩平面， 又⊥，所以，⊥平面，∴⊥ 又，,所以△是

等腰直角三角形，且，即 又CD∩PD=D， ∴PA⊥平面PDC，又PA平面PAD，所以平面PAD⊥平面PDC．