【題目】設(shè)橢圓:
的左、右焦點(diǎn)分別為
,
,下頂點(diǎn)為
,橢圓
的離心率是
,
的面積是
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線與橢圓
交于
,
兩點(diǎn)(異于
點(diǎn)),若直線
與直線
的斜率之和為1,證明:直線
恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1); (2)證明見(jiàn)解析,
.
【解析】
(1)根據(jù)離心率和的面積是
得到方程組,計(jì)算得到答案.
(2)先排除斜率為0時(shí)的情況,設(shè),
,聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到
,
,根據(jù)
化簡(jiǎn)得到
,代入直線方程得到答案.
(1)由題意可得,解得
,
,則橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程是
.
(2)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),直線
與直線
關(guān)于
軸對(duì)稱,則直線
與直線
的斜率之和為零,與題設(shè)條件矛盾,故直線
的斜率不為0.
設(shè),
,直線
的方程為
聯(lián)立,整理得
則,
.
因?yàn)橹本與直線
的斜率之和為1,所以
,
所以,
將,
代入上式,整理得
.
所以,即
,
則直線的方程為
.
故直線恒過(guò)定點(diǎn)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,梯形
與平行四邊形
所在平面互相垂直,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)判斷線段上是否存在點(diǎn)
,使得平面
平面
?若存在,求 出
的值,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求使方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí),
的取值范圍;
(2)設(shè),函數(shù)
,
.若對(duì)任意
,總存在
,使得
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),得到某河流水位(單位:米)的頻率分布直方圖如下.將河流水位在
,
,
,
,
,
,
各段內(nèi)的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)每年河流水位變化互不影響.
(1)求未來(lái)4年中,至少有2年該河流水位的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).
(2)已知該河流對(duì)沿河工廠的影響如下:當(dāng)
時(shí),不會(huì)造成影響;當(dāng)
時(shí),損失50000元;當(dāng)
時(shí),損失300000元.為減少損失,
工廠制定了三種應(yīng)對(duì)方案.
方案一:不采取措施;
方案二:防御不超過(guò)30米的水位,需要工程費(fèi)用8000元;
方案三:防御34米的最高水位,需要工程費(fèi)用20000元.
試問(wèn)哪種方案更好,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示(單位:cm),四邊形ABCD是直角梯形,求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方體中,點(diǎn)E是棱
的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).有以下三個(gè)命題:
①異面直線與
所成的角是定值;
②三棱錐的體積是定值;
③直線與平面
所成的角是定值.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)求函數(shù)的對(duì)稱軸方程;
(II)將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,然后再向左平移
個(gè)單位,得到函數(shù)
的圖象.若
分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,c=4,且
,求b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓,
分別為其左、右焦點(diǎn),過(guò)
的直線與此橢圓相交于
兩點(diǎn),且
的周長(zhǎng)為8,橢圓
的離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)
與點(diǎn)
,過(guò)
的動(dòng)直線
(不與
軸平行)與橢圓相交于
兩點(diǎn),點(diǎn)
是點(diǎn)
關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn).求證:
(i)三點(diǎn)共線.
(ii).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯,杯身曲線內(nèi)收,玲瓏嬌美,巧奪天工,是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯型幾何體的主體部分可近似看作是雙曲線的右支與直線
,
,
圍成的曲邊四邊形
繞
軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體,如圖
分別為
的漸近線與
,
的交點(diǎn),曲邊五邊形
繞
軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積可由祖恒原理(祖恒原理:冪勢(shì)既同,則積不容異).意思是:兩等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等),據(jù)此求得該金杯的容積是_____.(杯壁厚度忽略不計(jì))
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