Question

如圖所示，港口A北偏東30°方向的點C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船，測得BC為31海里．該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達D處，測得CD為21海里．問此時輪船離港口A還有多少海里？

Answer 1

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，進而可求sin∠CDB，由三角形的內角和定理可得sin∠ACD=sin(∠CDB-

π

3

)，再在△ACD中，由正弦定理知，

AD

sin∠ACD

=

CD

sin∠A

，可求AD

解答：解：由題意可得，BC=31，BD=20，CD=21，A=60°
在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC=

BD2+CD2-BC2

2×BD×CD

=

202+212-312

2×21×20

=-

1

7

，
故sin∠BDC=

1-cos2∠BDC

=

4 3

7

，
從而sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=

4 3

7

×

1

2

-(-

1

7

)×

3

2

=

5 3

14

．
在△ACD中，由正弦定理得   

AD

sin∠ACD

=

CD

sin60°

，
于是AD=

CD×sin∠ACD

sin60°

=15（海里），
即此時輪船距離港口A還有 15海里．

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內角和定理在實際中的應用，解決實際的問題的關鍵是要把題目中所提供的數據轉化成數學圖形中的長度（角度），然后根據相應的公式來解決問題．