Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如右圖．該棱錐中，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BC上移動(dòng)．
（I）畫出該棱錐的直觀圖并證明：無論點(diǎn)E在棱BC的何處，總有PE⊥AF；
（II）當(dāng)BE等于何值時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，根據(jù)三視圖作出其對(duì)應(yīng)的直觀圖，再由點(diǎn)E在棱BC滿足PE⊥AF，利用線面垂直證明線線垂直即可確定點(diǎn)E的位置；
（II）二面角P-DE-A的大小為45°是一個(gè)方程，本題用向量法做，先建立起分別以AB、AD、AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量，用向量表示出二面角，再由二面角為45°建立方程求出參數(shù)的值，即可得BE
解答：解：（I）直觀圖如下（AF，PE不必作出）
在四棱錐P-ABCD中，由題知：PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是矩形，所以∠PDA是PD與底面ABCD所成角，從而∠PDA=30°，
又∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB與PA相交于點(diǎn)A．
∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵PA=AB=1，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，
∴AF⊥面PBC，又BP∩BC=B，PE?平面PBC
所以PE⊥AF
（II）分別以AB、AD、AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，，0），F(xiàn)（，0，）
設(shè)E（1，t，0），其中t∈[0，），則，向量=（0，0，1）是平面ABCD的一個(gè)法向量，
設(shè)是平面PED的一個(gè)法向量，則有得
令z=，得y=1，x=-t，所以，從而有
，由=||得，解得t=（t=舍）
故當(dāng)t=時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°
點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求證線面垂直，線面平行，以及求面面夾角，利用空間向量求解立體幾何中的線面，面面位置關(guān)系及求線面角，二面角，是空間向量的重要應(yīng)用，引入空間向量，大大降低了求解立體幾何問題時(shí)的問題時(shí)的推理難度，使得思考變得容易，但此法也有不足，從解題過程可以看出，用空間向量法解立體幾何問題，運(yùn)算量不小，計(jì)算時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，莫因運(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致解題失�。�