精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于E點(diǎn)，若橢圓的離心率e=
2
2
，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若過(guò)F的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且
OA
+
OB
與向量
m
=(4，-
2
)共線(xiàn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求
OA
與
OB
的夾角．
分析：（1）由題意知
c
a
=
2
2
，
a2
c
-c=1，由此可求出a，b的值．
（2）設(shè)直線(xiàn)AB：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），則
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
消去y，得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，然后結(jié)合題意利用根與系數(shù)和關(guān)系進(jìn)行求解．
解答：解：（1）由題意知
c
a
=
2
2
，
a2
c
-c=1，解得a=
2
，c=1，從而b=1．

（2）由（1）知F（1，0），顯然直線(xiàn)不垂直于x軸，可設(shè)直線(xiàn)AB：y=k（x-1），
A（x1，y1），B（x2，y2），則
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
消去y，得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，
則x1+x2=
4k2
1+2k2
，x1x2=
2(k2-1)
1+2k2
，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=
-2k
1+2k2
，
于是
OA
+
OB
=(
4k2
1+2k2
，-
2k
1+2k2
)，
依題意：
4k2
1+2k2
4
=
-2k
1+2k2
-
2
，故k=
2
，或k=0（舍）
又y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=-
k2
1+2k2
，故
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，
所以
OA
與
OB
的夾角為90°．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線(xiàn)l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線(xiàn)AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），直線(xiàn)y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過(guò)右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線(xiàn)l：y=1，過(guò)M任作一條不與y軸重合的直線(xiàn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線(xiàn)l上的射影，AB的中垂線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作y軸的平行線(xiàn)交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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