Question

已知曲線C的方程為y²=4x（x＞0），曲線E是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）為焦點的橢圓，點P為曲線C與曲線E在第一象限的交點，且|PF2|=

5

3

．
（1）求曲線E的標準方程；
（2）直線l與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意得c，由|PF2|=

5

3

及拋物線定義可得P點橫坐標，代入拋物線方程得縱坐標，由橢圓定義可得a，由b²=a²-c²可得b；．
（2）設(shè)直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點F₂的坐標為（x₀，y₀），設(shè)直線方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由△＞0，得4k²-m²+3＞0①，由韋達定理得AB的中點（

-4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

），代入曲線C的方程為y²=4x（x＞0），得9m=-16k（3+4k²），再與①聯(lián)立能求出直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依題意，c=1，|PF2|=

5

3

，利用拋物線的定義可得x_P-（-1）=

5

3

，解得xP=

2

3

，
∴P點的坐標為(

2

3

 ， 

2 6

3

)，所以|PF1|=

7

3

，
由橢圓定義，得2a=|PF1|+|PF2|=

7

3

+

5

3

=4，a=2．
∴b²=a²-c²=3，
所以曲線E的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線l與橢圓E的交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點M的坐標為（x₀，y₀），
設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0，m≠0），
與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0得4k²-m²+3＞0①，
由韋達定理得，x₁+x₂=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
則x₀=

-4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

，
將中點（

-4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

）代入曲線C的方程為y²=4x（x＞0），
整理，得9m=-16k（3+4k²），②
將②代入①得16²k²（3+4k²）＜81，
令t=4k²（t＞0），
則64t²+192t-81＜0，解得0＜t＜

3

8

，
∴-

6

8

＜k＜

6

8

．
所以直線l的斜率k的取值范圍為-

6

8

＜k＜

6

8

．

點評：本題考查曲線的標準方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．