已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x2+mx+m）ex．
（Ⅰ）若m=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

解：（Ⅰ）由題意可得f'（x）=（x+2）（x-1）ex，
令f'（x）=0得x=-2或x=1，…（2分）x，f（x），f'（x）的關系列表如下：

x（-∞，-2）-2（-2，1）1（1，+∞）
f（x）+0-0+
f（x）↗f（-2）為極大值↘f（1）為極小值↗

由表可得，f（x）在x=-2取到極大值f（-2）=，f（x）在x=-1取到極小值f（1）=-e．

（Ⅱ）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0

因為函數(shù)f（x）沒有零點，所以△=m2-4m＜0

所以0＜m＜4


分析：（I）先求函數(shù)的導函數(shù)，然后研究導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的極值點，代入函數(shù)解析式即可求出極值；
（Ⅱ）令f（x）=0，得（x2+mx+m）•ex=0，所以x2+mx+m=0，根據(jù)函數(shù)f（x）沒有零點，可得△=m2-4m＜0，從而可求實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知函數(shù)，求出函數(shù)的導函數(shù)是解答此類問題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x2+mx+m）ex．
（1）若函數(shù)f（x）沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）存在極大值，并記為g（m），求g（m）的表達式；
（3）當m=0時，求證：f（x）≥x2+x3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x2+mx+m）ex．
（Ⅰ）若m=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•大連一模）已知m∈R，函數(shù)f（x）=mx2-2ex．
（Ⅰ）當m=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）有兩極值點a，b（a＜b），（�。┣髆的取值范圍；（ⅱ）求證：-e＜f（a）＜-2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•大連一模）已知m∈R，函數(shù)f（x）=mx2-2ex．
（Ⅰ）當m=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m∈R，函數(shù)f（x）=mx-
m-1
x
-lnx，g(x)=
1
2
+lnx
（I）求g（x）的極小值；
（Ⅱ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）證明：
ln2
2
+
ln3
3
+
ln4
4
+…+
lnn
n
＜
n2
2(n+1)
(n∈N*)．

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