Question

選修4-1：幾何證明選講如圖，在正△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊t上，且BD=

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BC，CE=

1

3

CA，AD，BE相交于點(diǎn)P，
求證：
（1）P，D，C，E四點(diǎn)共圓；
（2）AP⊥CP．

Answer 1

分析：（1）利用邊角邊公理，證出△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC，再用平角的定義與等量代換，得出∠PDC+∠BEC=π，所以四邊形PDCE是圓內(nèi)接四邊形，即P，D，C，E四點(diǎn)共圓；
（2）連接DE，在△CDE中利用余弦定理和勾股定理的逆定理，得到∠CED=90°，再結(jié)合（1）四邊形PDCE是圓內(nèi)接四邊形得到∠DPC=∠CED=90°，可證出AP⊥CP．

解答：解：（1）∵正△ABC中，BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA
∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°
∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC
∵∠PDC+∠ADB=π，
∴∠PDC+∠BEC=π，得四邊形PDCE的對角互補(bǔ)
∴四邊形PDCE是圓內(nèi)接四邊形，即P，D，C，E四點(diǎn)共圓；---（5分）
（2）如圖，連接DE，
∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，
∴由余弦定理，得DE²=CD²+CE²-2CD•CEcos60°=3CE²
由此可得CE²+DE²=4CE²=CD²，所以∠CED=90°
∵P，D，C，E四點(diǎn)共圓
∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP

點(diǎn)評：本題給出正三角形的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得到全等三角形，求證四點(diǎn)共圓并證明兩直線垂直，著重考查了三角形全等的判定、圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定和余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．