Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意的x₁，x₂都滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
當x＜0時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的單調性；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）是否存在這樣的實數(shù)m，當θ∈[0，

π

2

]時，使不等式f[cos²θ-（2+m）sinθ]+f（3+2m）＞0對所有θ恒成立，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題考查的是函數(shù)的單調性證明問題．在解答時，首先要結合定義域和所給區(qū)間任設兩個變量并保證大小關系，然后通過f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）即可獲得相應變量對應函數(shù)值的大小關系，結合函數(shù)單調性的定義即可獲得問題的解答．
（2）賦值求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）構造出f（-x）與f（x）的方程研究其間的關系，得出奇偶性，解答本題時注意做題格式，先判斷后證明．
（3）此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應用類問題．在解答時，先結合存在性問題的特點先假設存在m符合題意，然后將問題轉化為恒成立的問題結合二次函數(shù)的特點即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）設x₁＜x₂則x₁-x₂＜0，
f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)
（2）令x₁=x₂=0有f（0）=0
∴f（0）=f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
（3）假設存在實數(shù)m，由條件得f[cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m]＞f（0）?cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m＞0
令t=sinθt∈[0，1]有-t²-（2+m）t+4+2m＞0在[0，1]上恒成立
令g（t）=-t²-（2+m）t+4+2m則有

g(0)＞0 g(1)＞0

?m＞-1

點評：本題考查的是函數(shù)的單調性證明問題．抽象函數(shù)的奇偶性的判定，以及賦值法的應用，屬于中檔題，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調性的定義、作差法以及賦值法等知識．值得同學們體會和反思．