設(shè)函數(shù)f（x）=
13
x3-ax2-3a2x+1，其中a＞0．
（1）求f′（x）的表達(dá)式；
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值．
分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則可知，導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）由（1）知，f′（x）=x2-2x-3，列表，進(jìn)而可以得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．
解答：解：（1）∵f(x)=
1
3
x3-ax2-3a2x+1
∴f′（x）=x2-2ax-3a2
（2）∵a=1
∴f(x)=
1
3
x3-x2-3x+1，f′（x）=x2-2x-3
令f′（x）=0即x2-2x-3=0解得x=-1或x=3
列表：
x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 單調(diào)遞增 極大值
8
3
 單調(diào)遞減 極小值-8 單調(diào)遞增
∴由表可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，3）；
函數(shù)f（x）的極大值為
8
3
；極小值為-8．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及掌握不等式的解法．這是高考必考的考點(diǎn)；
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江西模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=
(
1
3
)x-8(x＜0)
x2+x-1(x≥0)
，若f（a）＞1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=3x-1，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①f（0）=0；②f(
x
3
)=
1
2
f(x)；③f（1-x）=2-f（x）．則f(
1
3
)+f(
1
8
)=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•成都一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx，記f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x）．
（I）當(dāng)a=-1，b=c=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)c=-a2（a＞0）時(shí)，若函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2滿足|x1-x2|=2，求b的取值范圍；
（III）若a=-
1
3
令h（x）=|f′（x）|，記h（x）在[-1，1]上的最大值為H，當(dāng)b≥0，c∈R時(shí)，證明：H≥
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
 x3+bx2+cx（c＜b＜1）在x=1處取到一個(gè)極小值，且存在實(shí)數(shù)m，使f′（m）=-1，
①證明：-3＜c≤-1；
②判斷f′（m-4）的正負(fù)并加以證明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于
-2c
3
，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

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