Question

5．設(shè)A、B、C、D為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線AB與直線CD相交于點(diǎn)P，α，β分別為直線AB、CD的傾斜角，試推斷當(dāng)α，β滿足什么關(guān)系時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），得$（^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α）{t}^{2}+2（^{2}{x}_{0}cosα+{a}^{2}{y}_{0}sinα）$t+${{x}_{0}}^{2}^{2}+{{y}_{0}}^{2}{a}^{2}-{a}^{2}^{2}$=0，由此利用韋達(dá)定理及弦AB、CD共圓，得（a²-b²）（sin²α-sin²β）=0，由此能求出當(dāng)α+β=π時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

解答 解：當(dāng)α+β=π時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓．
理由如下：
∵A、B、C、D為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上四個(gè)不同的點(diǎn)，
且直線AB與直線CD相交于點(diǎn)P，α，β分別為直線AB、CD的傾斜角，
設(shè)P（x₀，y₀），
∴直線AB的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）后整理，得：
$（^{2}co{s}^{2}α+{a}^{2}si{n}^{2}α）{t}^{2}+2（^{2}{x}_{0}cosα+{a}^{2}{y}_{0}sinα）$t+${{x}_{0}}^{2}^{2}+{{y}_{0}}^{2}{a}^{2}-{a}^{2}^{2}$=0，
∵AB與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，由韋達(dá)定理得：
t₁t₂=-$\frac{{{x}_{0}}^{2}^{2}+{{y}_{0}}^{2}{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}co{s}^{2}β+{a}^{2}si{n}^{2}β}$，
∵弦AB、CD共圓的充要條件是|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，
即弦AB、CD共圓的充要條件是：
b²cos²α+a²sin²α=b²cos²β+a²sin²β，
整理，得（a²-b²）（sin²α-sin²β）=0，
∴sin²α=sin²β，
∵α≠β，且α，β∈（0，π），
∴α+β=π時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的條件的判斷及證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)、四點(diǎn)共圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．