Question

若橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與左右焦點(diǎn)F₁、F₂組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₂作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求直線MF₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)的條件組成方程組求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為F₂，直線MF₁的斜率k=0；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為m，直線AB的方程可知，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)M（x，y），進(jìn)而可表示出x和y，當(dāng)m=0時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MF₁的斜率k=0；當(dāng)m≠0時(shí)用x和y表示斜率，進(jìn)而根據(jù)m的范圍確定k的范圍．綜合答案可得．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為
由
所以，橢圓C的方程為
（Ⅱ）、，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)為F₂，
直線MF₁的斜率k=0；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為m，
直線AB的方程為，
由橢圓方程聯(lián)立消去y并整理得：
設(shè)M（x，y），則
當(dāng)m=0時(shí)，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MF₁的斜率k=0；
當(dāng)m≠0時(shí)，，

∴且k≠0．
綜上所述，直線MF₁的斜率k的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．