某同學對函數(shù)f(x)=xcosx進行研究后,得出以下四個結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形;
②對任意實數(shù)x,|f(x)|≤|x|均成立;
③函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩公共點間的距離相等;
④函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x有無窮多個公共點,且任意相鄰兩公共點間的距離相等;
其中所有正確結(jié)論的序號是________.

①②④
分析:①判定函數(shù)為奇函數(shù),可得函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形;
②對任意實數(shù)x,|f(x)|=|xcosx|≤|x|;
③令f(x)=xcosx=0,可求方程的解,從而可得函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩公共點間的距離不相等;
④令f(x)=xcosx=x,可求方程的解,從而可得函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩公共點間的距離相等.
解答:①以-x代x,可得f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x),∴函數(shù)為奇函數(shù),∴函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形,故①正確;
②對任意實數(shù)x,|f(x)|=|xcosx|≤|x|,∴對任意實數(shù)x,|f(x)|≤|x|均成立,故②成立;
③令f(x)=xcosx=0,∴x=0或cosx=0,∴x=0或x=kπ+,(k∈Z),故函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩公共點間的距離不相等,故③不成立;
④令f(x)=xcosx=x,∴cosx=1,∴x=0或x=kπ,(k∈Z),故函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩公共點間的距離相等,故④成立;
故正確結(jié)論的序號是①②④.
點評:本題考查函數(shù)的性質(zhì),考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某同學對函數(shù)f(x)=xsinx進行研究后,得出以下結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的圖象是軸對稱圖形;
②對任意實數(shù)x,|f(x)|≤|x|均成立;
③函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等;
④當常數(shù)k滿足|k|>1時,函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點.
其中所有正確結(jié)論的序號是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某同學對函數(shù)f(x)=xcosx進行研究后,得出以下結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形;
②對任意實數(shù)x,|f(x)|≤|x|恒成立;
③函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等;
④函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等;
⑤當常數(shù)k滿足|k|>1時,函數(shù)y=f(x)圖象與直線y=kx有且只有一個公共點.
正確的命題的序號有
①②③⑤
①②③⑤

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某同學對函數(shù)f(x)=xcosx進行研究后,得出以下五個結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形;
②對任意實數(shù)x,f(x)≤|x|均成立;
③函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等;
④函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等;
⑤當常數(shù)k滿足|k|>1時,函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點.其中所有正確結(jié)論的序號是
①②④⑤
①②④⑤

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(2013•松江區(qū)一模)某同學對函數(shù)f(x)=xcosx進行研究后,得出以下五個結(jié)論:
①函數(shù)y=f(x)的圖象是軸對稱圖形;
②對任意實數(shù)x,f(x)≤|x|恒成立;
③函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等;
④函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x有無窮多個公共點,且任意相鄰兩點的距離相等;
⑤當常數(shù)k滿足|k|>1|時,函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點.
其中正確的結(jié)論序號是
②④⑤
②④⑤
(請寫出所有正確結(jié)論序號).

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(2012•蚌埠模擬)某同學對函數(shù)f(x)=xcosx進行研究后,得出以下四個結(jié)論:
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②對任意實數(shù)x,|f(x)|≤|x|均成立;
③函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有無窮多個公共點,且任意相鄰兩公共點間的距離相等;
④函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x有無窮多個公共點,且任意相鄰兩公共點間的距離相等;
其中所有正確結(jié)論的序號是
①②④
①②④

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