Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁垂直平面ABC，三角形ABC為等邊三角形，D為AB中點．
（1）求證：AB⊥C₁D；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．
（3）如果AB=4cm，AA₁=4

3

cm，求異面直線C₁D與AA₁所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）證明AB⊥C₁D，只需證明AB⊥平面CC₁D，利用線面垂直的判定定理，即可證得；
（2）證明AC₁∥平面CDB₁，只需證明線線平行，利用三角形的中位線可以證明；
（3）先說明∠CC₁D為異面直線C₁D與AA₁所成角，再在△CC₁D中，利用正切函數(shù)，即可證得．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，D為AB中點
∴CD⊥AB
∵CC₁垂直平面ABC
∴CC₁⊥AB
∵CD∩CC₁=C
∴AB⊥平面CC₁D
∵C₁D?平面CC₁D
∴AB⊥C₁D；
（2）證明：連接AC₁，BC₁，BC₁∩B₁C=O，連接OD，則OD∥AC₁，
∵OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（3）解：∵CC₁∥AA₁，
∴∠CC₁D為異面直線C₁D與AA₁所成角
在△CC₁D中，CD=

3

2

AB=2

3

cm，CC₁=AA₁=4

3

cm
∴tan∠CC₁D=

1

2

∴異面直線C₁D與AA₁所成角的大小為arctan

1

2

．

點評：本題考查線面垂直，線面平行，考查線線角，解題的關鍵是掌握線面垂平行的判定方法，正確作出線線角．