Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）證明：當時，方程在區(qū)間上只有一個解；

（Ⅱ）設，其中.若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（1）設，，求出，判斷函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，由，，利用零點存在性定理即可證出.

（2）設，，求出，由（1）不妨的零點為，從而可判斷在區(qū)間上單調情況，進而可得出函數(shù)的最小值為，由，得，代入可得，由即可求解.

（Ⅰ）設，.

，當時，，

因此函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.

且，.

所以在區(qū)間上只有一個零點，

方程在區(qū)間上只有一個解.

（Ⅱ）設，，定義域為，

，

令，則，

由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調遞增，且只有一個零點，

不妨設的零點為，則，

所以，與在區(qū)間上的情況如下：

	-	0	+

所以，函數(shù)的最小值為，，

由，得，所以.

依題意，即，解得.所以，的取值范圍為.