(14分) 已知二次函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象與直線y=x相切.

（1）求的解析式

（2）若函數(shù)上是單調(diào)減函數(shù)，那么：

①求k的取值范圍；

②是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n，使得在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由.

解析：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，∴

恒成立，即（2a+b）x=0恒成立，

∴2a+b=0，∴b=－2a，∴

∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，∴二次方程有兩相等實(shí)數(shù)根，

∴，（5分）

（2）①，

故k的取值范圍為（8分）

②

即

∵m＜n，故當(dāng)；

當(dāng)k＞1時(shí)，

當(dāng)k=1時(shí)，[m，n]不存在.（14分）
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）

已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．

（1）若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；

（2）如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．            

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)滿足條件：=，且方程=有等根。

(Ⅰ)求的解析式；

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m、n(m<n)，使的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（滿分14分）已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f(x)>－2x的解集為(1，3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年廣東省高州市高三上學(xué)期16周抽考數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

（本小題共14分）

已知二次函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x相切．

（1）求f(x)的解析式；

（2）若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，那么：求k的取值范圍；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆福建省三明市高一第一學(xué)期聯(lián)合命題考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且函數(shù)對稱軸方程為.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最小值；

（Ⅲ）探究：函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，使它的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

 

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