Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=kcⁿ-k（其中c，k為常數），且a₂=4，a₆=8a₃．
（1）求a_n；
（2）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）由S_n=kcⁿ-k，得a_n=s_n-s_n-1=kcⁿ-kc^n-1； （n≥2），
由a₂=4，a₆=8a₃．得kc（c-1）=4，kc⁵（c-1）=8kc²（c-1），解得；
所以a₁=s₁=2；
a_n=s_n-s_n-1=kcⁿ-kc^n-1=2ⁿ，（n≥2），
于是a_n=2ⁿ．
（2）：∵na_n=n•2ⁿ；
∴T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ；
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹；
∴-T_n=2+2²+2³…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹；
即：T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（1）先根據前n項和求出數列的通項表達式；再結合a₂=4，a₆=8a₃求出c，k，即可求出數列的通項；
（2）直接利用錯位相減法求和即可．
點評：本題主要考察數列求和的錯位相減法．數列求和的錯位相減法適用于一等差數列乘一等比數列組合而成的新數列．數列求和的錯位相減法也是這幾年高考的�？键c．