Question

設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，C，D分別為橢圓上、下頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且四邊形ACBD 的面積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)Q為橢圓上異于A、B的點(diǎn)，求證：直線QA與直線QB的斜率之積為定值；
（3）設(shè)P為直線上不同于點(diǎn)（，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．

Answer 1

解：（1）依題意得，a=2c，，∴，∴橢圓的方程為
（2）設(shè)Q（x，y），∵A（-2，0），B（2，0），∴
∴，故得證．
（3）由（1）得 A（-2，0），B（2，0），，設(shè)M（x₀，y₀）
∵M(jìn)在橢圓上，∴又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A，B，∴-2＜x₀＜2，由P，A，M三點(diǎn)共線可以得，∴
，從而有
∵-2＜x₀＜2，∴∴∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
分析：（1）依題意尋找a，b，c，從而可求橢圓的方程；（2）先求直線QA與直線QB的斜率，利用橢圓的方程可得證；（3）要證點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)，只需證∠MBN為鈍角，從而∠MBP為銳角，故即證．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查橢圓方程的運(yùn)用，考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．