已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中點.
(Ⅰ)證明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC與PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC與面BMC所成二面角的大。
【答案】分析:法一:(Ⅰ)證明面PAD⊥面PCD,只需證明面PCD內(nèi)的直線CD,垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可;
(Ⅱ)過點B作BE∥CA,且BE=CA,∠PBE是AC與PB所成的角,解直角三角形PEB求AC與PB所成的角;
(Ⅲ)作AN⊥CM,垂足為N,連接BN,說明∠ANB為所求二面角的平面角,在三角形AMC中,用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大。
法二:以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系,
(Ⅰ)求出,計算,推出AP⊥DC.,然后證明CD垂直平面PAD,即可證明面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ),計算.即可求得結(jié)果.
(Ⅲ)在MC上取一點N(x,y,z),則存在使,說明∠ANB為所求二面角的平面角.求出,計算
即可取得結(jié)果.
解答:法一:(Ⅰ)證明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂線定理得:CD⊥PD.
因而,CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD.
又CD?面PCD,
∴面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解:過點B作BE∥CA,且BE=CA,
則∠PBE是AC與PB所成的角.
連接AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,
所以四邊形ACBE為正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a2=3b2,PB=

∴AC與PB所成的角為

(Ⅲ)解:作AN⊥CM,垂足為N,連接BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角
∵CB⊥AC,由三垂線定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,AN•MC=

∴AB=2,

故所求的二面角為

法二:因為PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則各點坐標(biāo)為
A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),
D(1,0,0),P(0,0,1),M
(Ⅰ)證明:因為,
,所以AP⊥DC.
又由題設(shè)知AD⊥DC,且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD

(Ⅱ)解:因,
=
所以
由此得AC與PB所成的角為
(Ⅲ)解:在MC上取一點N(x,y,z),
則存在使,,
∴x=1-λ,y=1,z=λ.
要使AN⊥MC,只需,
解得.可知當(dāng)時,N點坐標(biāo)為,能使
,
得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB為所求二面角的平面角.
,

故所求的二面角為arccos
點評:本題考查平面與平面垂直,二面角的求法,異面直線所成的角,考查空間想象能力,邏輯思維能力,轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F(xiàn)為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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10
5
,求PB的長.

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5
2
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(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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