Question

函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）確定函數(shù)的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)有f（0）=0，可求出b，由f(

1

2

)=

2

5

可求得a值．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”，再考慮到定義域可得一不等式組，解出即可．

解答：解：（1）因為f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，即b=0．
又f（

1

2

）=

2

5

，所以

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1．
所以f（x）=

x

1+x2

．
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
因為-1＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）f（t-1）+f（t）＜0可化為f（t-1）＜-f（t）．
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（t-1）＜f（-t），
f（x）為（-1，1）上的增函數(shù)，所以t-1＜-t①，且-1＜t-1＜1②，-1＜t＜1③；
聯(lián)立①②③解得，0＜t＜

1

2

．
所以不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集為(0，

1

2

)．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及抽象不等式的求解，定義是解決函數(shù)單調(diào)性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為具體不等式處理．