若n∈N+，n≥2，求證：
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1-
1
n
．
分析：把中間項(xiàng)的分母擴(kuò)大，裂項(xiàng)銷項(xiàng)證明左邊成立，利用分母縮小裂項(xiàng)銷項(xiàng)證明右邊成立，即可證明不等式．
解答：證明：∵
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＞ 
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
1
2
 -
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
=
1
2
-
1
n+1
；
又
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
(n-1)n
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
4
-…+
1
n-1
-
1
n
＜1-
1
n
；
所以
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1-
1
n
．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，考查裂項(xiàng)銷項(xiàng)法的應(yīng)用；也可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明本題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，且nan+1=（n+1）an（n∈N*）．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（n）=
1
n+a1
+
1
n+a2
+
1
n+a3
+…+
1
n+an
（n∈N，n≥2）求函數(shù)f（n）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）已知函數(shù)f(x)=
1
2
(x+
1
x
)，x≥0，an+1=f（an），對(duì)于任意的n∈N*，都有an+1＜an．
（Ⅰ）求a1的取值范圍；
（Ⅱ）若a1=
3
2
，證明an＜1+
1
2n+1
（n∈N+，n≥2）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下證明
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
-n＜
2
+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）對(duì)于函數(shù)y=f（x）與常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個(gè)“P數(shù)對(duì)”，且當(dāng)x∈[1，2）時(shí)f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區(qū)間[1，2n）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數(shù)，且（2，-2）是f（x）的一個(gè)“類P數(shù)對(duì)”，試比較下列各組中兩個(gè)式子的大小，并說明理由．
①f（2-n）與2-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，數(shù)列{an}滿足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1≠a2，且f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（k為非零常數(shù)，n∈N*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a1=2，bn=lnan(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于給定的正整數(shù)m，如果
S(m+1)nSmn
的值與n無關(guān)，求k的值．

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