Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A=

π

6

，a=2；設(shè)內(nèi)角B=x，△ABC的面積為y．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（2）求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則可利用正弦定理求得R，再根據(jù)正弦定理表示出b，c后利用三角形面積公式表示出函數(shù)的解析式，根據(jù)角A的范圍求出函數(shù)的定義域．
（2）先根據(jù)兩角和與差的正弦公式對函數(shù)f（x）進(jìn)行展開，再由二倍角該公式和兩角和與差的公式進(jìn)行化簡，根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得值域．

解答：解：（1）設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則2R=

2

sin π 6

=4，∴R=2．
則y=f(x)=

1

2

bcsinA=

1

4

×2RsinB×2RsinC=4sinxsin(

5π

6

-x)，
定義域?yàn)?span id="3vyd8vt" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">{x|0＜x＜

5π

6

}．
（2）∵f(x)=4sinxsin(

5π

6

-x)=4sinx(

1

2

cosx+

3

2

sinx)=2sinxcosx+2

3

sin2x=sin2x+

3

-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+

3

而0＜x＜

5π

6

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

4π

3

．
則-

3

2

＜sin(2x-

π

3

)≤1，
故函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(0，2+

3

]．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理、二倍角公式和兩角和與差的公式的應(yīng)用，考查基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用和對公式的掌握情況，三角函數(shù)的公式比較多，一定要加強(qiáng)記憶．