Question

設函數f（x）=tanx-8sinx，其中x∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對?x1∈[0，

π

3

]，?x2∈[0，

π

3

]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的正負可得函數的單調區(qū)間；
（2）對?x1∈[0，

π

3

]，?x2∈[0，

π

3

]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，等價于|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a，由此可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=tanx-8sinx，得f′(x)=

1

cos2x

-8cosx=

1-8cos3x

cos2x

＞0，
即 cosx＜

1

2

，其中x∈(-

π

2

，

π

2

)，解得，x∈(-

π

2

，-

π

3

)∪(

π

3

，

π

2

)，
所以，函數f（x）的單調遞增區(qū)間是：(-

π

2

，-

π

3

)，(

π

3

，

π

2

)，遞減區(qū)間是(-

π

3

，

π

3

)．
（2）若對?x1∈[0，

π

3

]，?x2∈[0，

π

3

]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，
只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a．
由（1）得 f（x）在區(qū)間 (0，

π

3

)上單調遞減，
所以，當x1∈[0，

π

3

]時，-3

3

≤f（x₁）≤0，
同理，-3

3

≤f（x₂）≤0，
所以，-3

3

≤f（x₁）-f（x₂）≤3

3

，
所以0≤|f（x₁）-f（x₂）|≤3

3

，
所以|f（x₁）-f（x₂）|_max=3

3

，
所以，a≥3

3

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．