Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

4

x⁴+bx²+cx+d，當(dāng)x=t₁時(shí)，f（x）有極小值．
（1）若b=-6時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[m-2，m+2]上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，且存在t₂∈（t₁，t₁+1），使f′（t₂）=0，證明：函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x²+t₁x在區(qū)間（t₁，t₂）內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）利用條件得f′（x）=0有三個(gè)互異的實(shí)根，在對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值來下結(jié)論．
（2）先利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，再讓閉區(qū)間[m-2，m+2]是所求區(qū)間的子集即可求m的取值范圍．
（3）函數(shù)f（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)，就是在導(dǎo)函數(shù)為0的根左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)的根只有一個(gè)x=t₁．所以在x=t₂兩側(cè)同號(hào)，t₁＜x＜t₂，求得（x-t₂）²-1＜0推出函數(shù)g（x）在（t₁，t₂）內(nèi)單調(diào)減即可得結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=

1

4

x⁴+bx²+cx+d，所以h（x）=f′（x）=x³-12x+c．（2分）
由題設(shè)，方程h（x）=0有三個(gè)互異的實(shí)根．
考察函數(shù)h（x）=x³-12x+c，則h′（x）=0，得x=±2．

所以

c+16＞0 c-16＜0.

故-16＜c＜16．（5分）
（2）存在c∈（-16，16），使f′（x）≥0，即x³-12x≥-c，（*）
所以x³-12x＞-16，即（x-2）²（x+4）＞0（*）在區(qū)間[m-2，m+2]上恒成立．（7分）
所以[m-2，m+2]是不等式（*）解集的子集．
所以

m-2＞-4 m+2＜2

或m-2＞2，即-2＜m＜0，或m＞4．（9分）
（3）由題設(shè)，可得存在α，β∈R，使f′（x）=x³+2bx+c=（x-t₁）（x²+αx+β），
且x²+αx+β≥0恒成立．（11分）
又f?（t₂）=0，且在x=t₂兩側(cè)同號(hào)，
所以f?（x）=（x-t₁）（x-t₂）²．（13分）
另一方面，g′（x）=x³+（2b-1）x+t₁+c
=x³+2bx+c-（x-t₁）=（x-t₁）[（x-t₂）²-1]．
因?yàn)閠₁＜x＜t₂，且t₂-t₁＜1，所以-1＜t₁-t₂＜x-t₂＜0．
所以0＜（x-t₂）²＜1，所以（x-t₂）²-1＜0．
而x-t₁＞0，所以g′（x）＜0，所以g（x）在（t₁，t₂）內(nèi)單調(diào)減．
從而g（x）在（t₁，t₂）內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用極值求對(duì)應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)