Question

14．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分別為A₁B₁和B₁C₁的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 取AB中點E，BC中點F，連接B₁E，B₁F，則∠EB₁F為直線AM與CN所成角，設(shè)正方體棱長為2a，然后利用余弦定理求解．

解答 解：如圖，取AB中點E，BC中點F，連接B₁E，B₁F，
則四邊形AEB₁M，B₁FCN為平行四邊形，
∴AM∥B₁E，CN∥B₁F，
∴∠EB₁F為直線AM與CN所成角（或補角），
正方體的棱長為1，則BE=BF=$\frac{1}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，B₁F=B₁E=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴cos∠EB₁F=$\frac{4}{5}$．
∴直線AM與CN所成角的余弦值是$\frac{4}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查異面直線所成的角，關(guān)鍵是找出角，是中檔題．