（10分） 如圖，已知正三棱柱的所有棱長都為2，為中點，試用空間向量知識解下列問題：

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值大小.

解析：取中點，連，∵為正三角形，∴，

∵在正三棱柱中，平面平面,∴平面………2分

取中點為,以為原點，,,的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，

則，

……………4分

∴,

∵,，

∴，,∴平面.…………………………………………6分

（2）設(shè)平面的法向量為,.

，∴，∴，解得，

令，得為平面的一個法向量， ………………………………8分

由（1）知平面，∴為平面的法向量，

，

∴二面角的余弦值大小為.    ………………………………10分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14、如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達A1點的最短路線的長為
10
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）異面直線AC與B1C1所成的角是
60°
60°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都為a，P為A1B上的點．
（1）試確定
A1P
PB
的值，使得PC⊥AB；
（2）若
A1P
PB
=
2
3
，求二面角P-AC-B的大�。�
（3）在（2）的條件下，求C1到平面PAC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鹽城模擬）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點．
（1）求證：平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）求證：A1C∥平面AB1D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•淮安模擬）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點，試用空間向量知識解下列問題：
（1）求證：AB1⊥平面A1BD；
（2）求二面角A-A1D-B的余弦值大�。�

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