Question

設(shè)S_n表示一個(gè)公比q≠-1（q∈R）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，CardA表示集合A中的元素個(gè)數(shù)，設(shè)M={x|x=

lim

n→∞

Sn

S2n

}，則CardM=

3

．

Answer 1

分析：由于涉及等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，故求和時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，同時(shí)注意極限的求解方法

解答：解：當(dāng)q=1時(shí)，S_n=n，S_2n=2n，∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

1

2

，
當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=

a1(1-qn)

1-q

，S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

，
∴

lim

n→∞

Sn

S2n

=

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

，
當(dāng)q＞1時(shí)，

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

=

lim

n→∞

1 q2n - 1 qn

1 q2n -1

=0
當(dāng)0＜q＜1時(shí)，∴

lim

n→∞

1-qn

1-q2n

=

1-0

1-0

=1
M={0，

1

2

，1}．
∴CardM=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列的極限，主要考查等比數(shù)列的極限問(wèn)題，運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，需要進(jìn)行分類討論．