已知函數(shù)f（x）=log2
1+x
1-x
．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（3）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并用定義證明．
（1）∵由
1+x
1-x
＞0，得（1+x）（1-x）＞0，解之得-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域是（-1，1）（3分）
（2）由（1）知x∈（-1，1），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∵f（-x）=log2
1+(-x)
1-(-x)
=log2
1-x
1+x

而-f（x）=-log2
1+x
1-x
=log2(
1+x
1-x
)-1=log2
1-x
1+x
．
∴f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．（6分）
（3）設(shè)-1＜x1＜x2＜1，
f（x2）-f（x1）=log2
1+x2
1-x2
-log2
1+x1
1-x1
=log2
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)

∵1-x1＞1-x2＞0；1+x2＞1+x1＞0，
∴
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
＞1，結(jié)合底數(shù)2＞1得log2
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
＞0．
∴f（x2）-f（x1）＞0，得f（x1）＜f（x2）
因此，函數(shù)f（x）=log2
1+x
1-x
在（-1，1）上是增函數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案