Question

下列不等式對(duì)任意的x恒成立的是

1. A.
   x-x²≥0
2. B.
   e^x≥ex
3. C.
   lnx＞x
4. D.
   sinx＞-x+1

Answer 1

B
分析：由x-x²≥0，解得0≤x≤1，故A不正確；令f（x）=e^x-ex，則f′（x）=e^x-e，f''（x）=e^x＞0，由f′（x）=e^x-e，得x=1，由x=1處為f（x）的極小值點(diǎn)，知e^x≥ex，故B成立．由lnx＞x和sinx＞-x+1都不恒成立，知C和D都不正確．
解答：∵x-x²≥0，∴x²-x≤0，
解得0≤x≤1，
∴A不正確；
令f（x）=e^x-ex，則f′（x）=e^x-e，
由f′（x）=e^x-e=0，得x=1，令導(dǎo)數(shù)為正可得x＞1，令導(dǎo)數(shù)為負(fù)可得x＜1
∴x=1處為f（x）的極小值點(diǎn)，
∴f（x）≥f（1）=0，∴e^x≥ex對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，故B成立．
∵由ln1=0＜1，知lnx＞x不恒成立，
∴C不正確．
∵由sin0＜-0+1，知sinx＞-x+1不恒成立，
∴D不正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問題，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用．