如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可求面PBD的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)A到平面PBD的距離公式求解；
（2）根據(jù)cosθ=
|
PC
•
AD
|
|
PC
|•|
AD
|
，故先求相應(yīng)的向量，從而可求異面直線PC與AD所成角．要使平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，故由cos60°=
AD
•
PQ
|
AD
|•|
PQ
|
=
|y|
x2+y2+4
=
1
2
從而可得軌跡方程．
解答：解：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系
PD
=(0，1，-2)，
PB
=(2
2
，0，-2)，設(shè)面PBD的法向量為
n
=(x，y，z)，則
PD
•
n
=0，
PB
•
n
=0，得面PBD的一個(gè)法向量為
n
=(1，2
2
，
2
)，
所以點(diǎn)A到平面PBD的距離d=
AP
•
n
n
=
2
11
22
…（7分）
（2）P（0，0，2）、C（2
2
，2，0），則有
PC
=（2
2
，2，-2），又
AD
=（0，1，0）
則異面直線PC與AD所成角θ滿足cosθ=
|
PC
•
AD
|
|
PC
|•|
AD
|
=
1
2
，
所以，異面直線PC與AD所成角的大小為60°
設(shè)Q（x，y，0），則
AD
=(0，1，0)，
PQ
=(x，y，-2)
∴cos60°=
AD
•
PQ
|
AD
|•|
PQ
|
=
|y|
x2+y2+4
=
1
2

化解得3y2-x2=4…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查點(diǎn)面距離，考查線線角，考查軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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