Question

已知向量=（1，1），向量與的夾角為，且•=-1．
（1）求：向量；
（2）若與=（1，0）的夾角為，而向量，試求f（x）=；
（3）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足b²=ac且b所對(duì)的角為x，求此時(shí)（2）中的f（x）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出向量=（x，y），利用向量與的夾角為，且•=-1．得到 x+y=-1與 x²+y²=1，解方程求出x，y即可．
（2）利用（1）以及與=（1，0）的夾角為，判斷=（0，-1），表示，然后利用向量的模的求法求出
f（x）=．
（3）通過(guò)余弦定理以及b²=ac，求出1≥cosx，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域即可．
解答：解：（1）設(shè)向量=（x，y）
∵•=-1，•=|a|||cosΘ=1×x+1×y=x+y
∴x+y=-1…①
∵||||cos=-||||=-||=-||
∴||=1
∴x²+y²=1…②
①代入②得：
x²+（-x-1）²=1
可得 2x²+2x=0
x（x+1）=0，
∴x_₁=0，x₂=-1
   y_₁=-1，y₂=0
∴=（0，-1），或 =（-1，0）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225226416830910/SYS201311012252264168309021_DA/31.png">與=（1，0）的夾角為，所以=（0，-1），
因?yàn)橄蛄?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225226416830910/SYS201311012252264168309021_DA/35.png">，
=，
所以f（x）===
（3）因?yàn)椤鰽BC的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足b²=ac且b所對(duì)的角為x，
所以b²=a²+c²-2accosx，
∴ac=a²+c²-2accosx，ac+2accosx≥2ac，解得1≥cosx，
f（x）=，1≥cosx，
因?yàn)閒（x）==在1≥cosx上是減函數(shù)，
所以f（x）∈[0，]
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積的兩種計(jì)算方法的應(yīng)用，向量的模的求法，余弦定理以及二次函數(shù)的最值的求法，難度比較大的綜合題．